%This is a LaTeX template for homework assignments
\documentclass{exam}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{enumerate}
\section*{Свободная частица}
\item Покажите, что выражения $[A e^{ikx} + B e^{-ikx}], [C cos(kx) + D sin(kx)], [Fcos(kx+\alpha)]$, и $[G sin(kx +\beta)]$ являются эквивалентными способами записи одной и той же функции от $x$, и выразите константы $C, D, F, G, \alpha$ и $\beta$ в терминах $A$ и $B$. Предполагайте, что функции действительны.
\item Рассмотрим свободную частицу, которая в начальный момент времени локализована в интервале $-a < x < a$:
$$ \Psi(x, 0) =
\begin{cases}
A, \text{если} -a < x < a \\
0, \text{в остальных случаях} \\
\end{cases}
$$
где $A$ и $a$ — действительные положительные константы.
\begin{enumerate}
\item Найдите $A$, нормировав $\Psi$.
\item Найдите $\phi(k)$ (Коэффициенты разложения по состояниям с определенной энергией).
\item Прокомментируйте поведение $\phi(k)$ для очень больших и очень маленьких значений $a$. Как это соотносится с принципом неопределенности?
\end{enumerate}
\item Частица имеет начальную волновую функцию вида:
$$ \Psi(x,0) = A e^{-a x^2} $$
\begin{enumerate}
\item Нормируйте $\Psi(x, 0)$.
\item Найдите $\Psi(x, t)$.
\item Найдите $|\Psi(x, t)|^2$.
\item Найдите $\langle x \rangle, \langle p \rangle, \langle x^2 \rangle, \langle p^2 \rangle, \sigma_x, \sigma_p $.
\item Выполняется ли принцип неопределенности? В какой момент система походит к пределу неопределенности ближе всего?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
