Proyecto ITAM
Author
Jose Miguel Saavedra
Last Updated
5年前
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Una planilla para un proyecto del ITAM con portada.
Una planilla para un proyecto del ITAM con portada.
\input{preamble}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\include{Portada}
\end{titlepage}
\section{Nociones basicas de procesos estocásticos}
\subsection{Cadenas de Markov}
\begin{definition}[Proceso Estocástico\cite{luisrincon2019}]
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias $\{X_t : t\in T\}$ parametrizada por un conjunto $T$, llamado espacio parametral, en donde las variables toman valores en un conjunto $S$ llamado espacio de estados.
\end{definition}
Es decir, un proceso estocástico es un sistema que puede estar en cualquier punto del espacio de estados $S$. Suponga que el sistema cambia de un estado a otro a lo largo del tiempo de acuerdo con una cierta ley de movimiento, y $X_t$ indica el estado del sistema al tiempo $t$.
\begin{definition}[Propiedad de Markov]
Un proceso estocástico se dice que cumple la propiedad de Markov si para todo $t_1<t_2<...<t_n<t \in T$ y todo $x_1,x_2,...,x_n$ se cumple $P(X_t\leq x : X_{t_1}=x_1, X_{t_2}=x_2, ..., X_{t_n}=x_n) = P(X_t\leq x : X_{t_n}=x_n)$
\end{definition}
Las cadenas de Markov, introducidas por el matemático ruso Andrey Markov alrededor de 1905, son un proceso estocástico a tiempo discreto con espacio de estados discretos y que cumple la propiedad de Markov.
\subsection{Proceso Browniano}
\begin{definition}[Movimiento Browniano\cite{luisrincon2019}]
Un movimiento Browniano unidimensional de parámetro $\sigma^2$ es un proceso estocástico $\{B_t : t\geq 0\}$ con valores en $\mathbb{R}$ que cumple las siguientes propiedades:
\begin{enumerate}
\item $B_0=0$
\item Las trayectorias son continuas.
\item El proceso tiene incrementos independientes.
\item Para cualesquiera tiempos $0\leq s<t$, la variable tiene incrementos $B_t-B_s$ independientes con distribución $\mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$
\end{enumerate}
\end{definition}
\bibliography{BMBibTeX}
\bibliographystyle{ieeetr}
\end{document}