Exercício de Nivelamento - Lógica II
Author
Fellipe de Carvalho Silva
Last Updated
4 years ago
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Exercício de nivelamento de Lógica II, feito pelo aluno Fellipe de Carvalho Silva na UFRJ, em 2018.2.
Exercício de nivelamento de Lógica II, feito pelo aluno Fellipe de Carvalho Silva na UFRJ, em 2018.2.
% Todas as linhas precedidas pelo simbolo '%' são comentários
% e não afetam em nada o seu texto final.
% IGNORE. Pacotes necessários e acessórios para o documento
\documentclass[12pt]{exam}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{libertine}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
% ---
% Informações que podem ser configuradas
% ---
\newcommand{\class}{FCF611 - Lógica II} % Nome da disciplina
\newcommand{\term}{2018.2} % Perído Letivo
\newcommand{\examnum}{Exercício de Nivelamento} % Número/Nome do exercício.
\newcommand{\examdate}{20/08/2018} % insere a data no documento
\newcommand{\timelimit}{} % IGNORE
% ---
\begin{document} % declaração de que o documento começa aqui.
\pagestyle{plain}
\thispagestyle{empty}
% ... formatação do cabeçalho
\noindent
\begin{tabular*}{\textwidth}{l @{\extracolsep{\fill}} r @{\extracolsep{6pt}} l}
\textbf{\class} & \textbf{Nome:} & \textit{Fellipe de Carvalho Silva}\\ % Insira o seu nome dentro dos {}'.
\textbf{\term} &&\\
\textbf{\examnum} &&\\
\textbf{\examdate} &&\\
\end{tabular*}\\
\rule[2ex]{\textwidth}{2pt}
% ---
% Inicio das questões.
\begin{questions}
\question Raciocinando semânticamente, determine a validade ou invalidade nos casos a seguir.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[(a)]
% daqui em diante se pode ter ideia de como digitar os simbolos lógicos e as fórmulas complexas.
\item
$A \lor B, \neg A \vDash B$
\item
$A \leftrightarrow B, \neg A \vDash \neg B$
\item
$\neg \left( A\land B \right)\vDash \neg B\land \neg A$
\item
$A\rightarrow B\vDash A\lor B$
\item
$\neg A\rightarrow \neg B\vDash A\rightarrow B$
\item
$A, A\rightarrow B\vDash A\leftrightarrow B$
\item
$B\rightarrow \neg C\vDash \neg(B\land C)$
\item
$\neg(A\lor B), C\leftrightarrow A\vDash \neg C$
\item
$\neg(A\land B), D\leftrightarrow A\vDash \neg D$
\item
$A \vDash (A\rightarrow (B\land A))\rightarrow (A\land B)$
\item
$(B\land C) \rightarrow A, \neg B, \neg C\vDash \neg A$
\item
$A \leftrightarrow B, B\leftrightarrow C\vDash A\leftrightarrow C$
\item
$A \rightarrow (B\lor C), (B\land C)\rightarrow D\vDash A\rightarrow D$
\item
$(\neg A \lor B)\lor C, (B\lor C)\rightarrow D\vDash A\rightarrow D$
\item
$(A\rightarrow B), A\vDash A$
\item
$(A\land B)\rightarrow C, A\land \neg C, B\vDash C\land \neg C$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{questions}
Exemplo I.
\bigskip
a) $A \lor B, \neg A \vDash B$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(A\lor B)=V$,
ii. $v(\neg A)=V$ e
iii. $v(B)=F$. Note que de i. e iii., pelo significado da ($\lor$), temos que iv. $v(A)=V$. De iv., pelo significado da ($\neg$), temos que v. $v(\neg A)=F$. Contudo, de ii. e v., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
Exemplo II.
\bigskip
m) $A \rightarrow (B\lor C), (B\land C)\rightarrow D\vDash A\rightarrow D$
\begin{proof}
Vamos mostrar que $A \rightarrow (B\lor C), (B\land C)\rightarrow D\nvDash A\rightarrow D$. Para ver isto, tome a valoração $v$, tal que
(i) $v(A)=V, v(D)=F, v(B)=V, v(C)=F $. Como $v(B)=V$, pelo significado da ($\lor$) temos que $v(B\lor C)=V$. Daí, pelo significado da ($\to$), podemos determinar que (ii) $v(A\to (B\lor C))=V$. Do fato de que $v(C)=F$ e de que $v(D)=F$, pelo significado da ($\land$) e ($\to$), temos que (iii) $v((B\land C)\to D)=V$. Por (i) e pelo significado da ($\to$), segue-se que (iv) $v(A\to D)=F$. Assim, por (ii) e (iii), sabemos que a valoração dada torna as premissas verdadeiras, mas por (iv), que torna a conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\pagebreak
Resoluções.\\
\bigskip
a) Respondido no Exemplo I.\\
\bigskip
b) $A \leftrightarrow B, \neg A \vDash \neg B$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(A \leftrightarrow B)=V$,
ii. $v(\neg A)=V$ e
iii. $v(\neg B)=F$. De iii., pelo significado da ($\neg$), temos que iv. $v(B)=V$. De i. e iv., pelo significado da ($\leftrightarrow$), temos que v. $v(A)=V$ . Contudo, de ii. e de v., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
c) $\neg \left( A\land B \right)\vDash \neg B\land \neg A$
\begin{proof}
Vamos mostrar que $\neg \left( A\land B \right)\nvDash \neg B\land \neg A$. Para ver isto, tome a valoração $v$, tal que: i. $v(A)=V$, $v(B)=F$. Por i. e pelo significado da ($\land$), temos que $v(A\land B)=F$. Daí, pelo significado da ($\neg$), podemos determinar que ii. $v(\neg \left( A\land B \right))=V$. Porém por i. e pelo significado da ($\neg$), determinamos que iii. $v(\neg A)=F$. Então, por iii. e pelo significado da ($\land$) temos iv. $v(\neg B\land \neg A)=F$. Assim, por ii., sabemos que a valoração dada torna as premissas verdadeiras, mas por iv., que torna a conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\bigskip
d) $A\rightarrow B\vDash A\lor B$
\begin{proof}
Vamos mostrar que $A\rightarrow B\nvDash A\lor B$. Para ver isto, tome a valoração $v$, tal que: i. $v(A)=F$, $v(B)=F$. Por i. e pelo significado da ($\rightarrow$), temos que ii. $v(A\rightarrow B)=V$. Porém por i. e pelo significado da ($\lor$), temos que iii. $v(A\lor B)=F$. Assim, por ii., sabemos que a valoração dada torna as premissas verdadeiras, mas por iii., que torna a conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\bigskip
e) $\neg A\rightarrow \neg B\vDash A\rightarrow B$
\begin{proof}
Vamos mostrar que $\neg A\rightarrow \neg B\nvDash A\rightarrow B$. Para ver isto, tome a valoração $v$, tal que: i. $v(\neg A)=F$, $v(\neg B)=V$. Por i. e pelo significado da ($\rightarrow$), temos que ii. $v(\neg A\rightarrow \neg B)=V$. Enquanto por i. e pelo significado da ($\neg$), temos que iii. $v(A)=V$, $v(B)=F$. Daí, por iii. e pelo significado da ($\rightarrow$), temos que iv. $v(A\rightarrow B)=F$. Assim, por ii. sabemos que a valoração dada torna as premissas verdadeiras, mas por iv., que torna a conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\pagebreak
f) $A, A\rightarrow B\vDash A\leftrightarrow B$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(A)=V$,
ii. $v(A\rightarrow B)=V$ e
iii. $v(A\leftrightarrow B)=F$. De i. e ii., pelo significado da ($\rightarrow$), temos que iv. $v(B)=V$. De i. e iv., pelo significado da ($\leftrightarrow$), temos que v. $v(A\leftrightarrow B)=V$. Contudo, de iii. e v., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
g) $B\rightarrow \neg C\vDash \neg(B\land C)$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(B\rightarrow \neg C)=V$ e
ii. $v(\neg(B\land C))=F$. De ii., pelo significado da ($\neg$), temos que iii. $v(B\land C)=V$. De iii., pelo significado da ($\land$), temos que iv. $v(B)=V$, $v(C)=V$. De iv., pelo significado da ($\neg$), temos que v. $v(B)=V$, $v(\neg C)=F$. De v., pelo significado da ($\rightarrow$), temos que vi. $v(B\rightarrow \neg C)=F$. Contudo, de i. e vi., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
h) $\neg(A\lor B), C\leftrightarrow A\vDash \neg C$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(\neg(A\lor B))=V$,
ii. $v(C\leftrightarrow A)=V$ e
iii. $v(\neg C)=F$. De i., pelo significado da ($\neg$), temos que iv. $v(A\lor B)=F$. De iv., pelo significado da ($\lor$), temos que v. $v(A)=F$, $v(B)=F$. De ii. e v., pelo significado de ($\leftrightarrow$), temos que vi. $v(C)=F$. De vi., pelo significado da ($\neg$), temos que vii. $v(\neg C)=V$. Contudo, de iii. e vii., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
i) $\neg(A\land B), D\leftrightarrow A\vDash \neg D$
\begin{proof}
Vamos mostrar que $\neg(A\land B), D\leftrightarrow A\nvDash \neg D$. Para ver isto, tome a valoração $v$, tal que:
i. $v(A)=V$, $v(B)=F$, $v(D)=V$. Por i. e pelo significado da ($\land$), temos que ii. $v(A\land B)=F$. Por ii. e pelo significado da ($\neg$), temos que iii. $v(\neg(A\land B))=V$. Por i. e pelo significado da ($\leftrightarrow$), temos que iv. $v(D\leftrightarrow A)=V$. Daí, por i. e pelo significado da ($\neg$), temos que v. $v(\neg D)=F$. Assim, por iii. e por iv., sabemos que a valoração dada torna as premissas verdadeiras, mas por v., que torna a conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\pagebreak
j) $A \vDash (A\rightarrow (B\land A))\rightarrow (A\land B)$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(A)=V$ e
ii. $v((A\rightarrow (B\land A))\rightarrow (A\land B))=F$. De ii., pelo significado da ($\rightarrow$), temos que iii. $v(A\rightarrow (B\land A))=V$, $v(A\land B)=F$. De i. e iii., pelo significado da ($\land$), temos quem iv. $v(B)=F$. De iv., pelo significado da ($\land$), temos que v. $v(B\land A)=F$. De i. e v., pelo significado da ($\rightarrow$), temos que vi. $v(A\rightarrow (B\land A))=F$. Contudo, de iii. e vi., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
k) $(B\land C) \rightarrow A, \neg B, \neg C\vDash \neg A$
\begin{proof}
Vamos mostrar que $(B\land C) \rightarrow A, \neg B, \neg C\nvDash \neg A$. Para ver isto, tome a valoração $v$, tal que:
i. $v(B)=F$, $v(C)=F$, $v(A)=V$. Por i. e pelo significado da ($\land$), temos que ii. $v(B\land C)=F$. Por i., ii. e pelo significado da ($\rightarrow$), temos que iii. $v((B\land C) \rightarrow A)=V$. Por i. e pelo significado da ($\neg$), temos que iv. $v(\neg B)=V$, $v(\neg C)=V$. Daí, por i. e pelo significado da ($\neg$), temos que v. $v(\neg A)=F$. Assim, por iii. e por iv., sabemos que a valoração dada torna as premissas verdadeiras, mas por iv., que torna a conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\bigskip
l) $A \leftrightarrow B, B\leftrightarrow C\vDash A\leftrightarrow C$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(A\leftrightarrow B)=V$,
ii. $v(B\leftrightarrow C)=V$ e
iii. $v(A\leftrightarrow C)=F$. De i., pelo significado da ($\leftrightarrow$), temos que iv. a. $v(A)=V$, $v(B)=V$, ou b. $v(A)=F$, $v(B)=F$. De i. e ii., pelo significado da ($\leftrightarrow$), temos que v. a. $v(B)=V$, $v(C)=V$, ou b. $v(B)=F$, $v(C)=F$. De iii., pelo significado da ($\leftrightarrow$), temos que vi. a. $v(A)=V$, $v(C)=F$, ou b. $v(A)=F$, $v(C)=V$. Contudo, de iv., v. e vi., nas duas valorações possíveis, obtemos contradições, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
m) Respondido no Exemplo II.\\
\bigskip
\pagebreak
n) $(\neg A \lor B)\lor C, (B\lor C)\rightarrow D\vDash A\rightarrow D$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v((\neg A \lor B)\lor C)=V$,
ii. $v((B\lor C)\rightarrow D)=V$ e
iii. $v(A\rightarrow D)=F$. De iii., pelo significado da ($\rightarrow$), temos que iv. $v(A)=V$, $v(D)=F$. De ii. e iv., pelo significado da ($\rightarrow$), temos que v. $v(B\lor C)=F$. De v., e pelo significado da ($\lor$), temos que vi. $v(B)=F$, $v(C)=F$. De iv., pelo significado da ($\neg$), temos que vii. $v(\neg A)=F$. De vi. e vii., pelo significado da ($\lor$), temos que viii. $v(\neg A \lor B)=F$. De vi. e viii., pelo significado da ($\lor$), temos que ix. $v((\neg A\lor B)\lor C)=F$. Contudo, de i. e ix., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
o) $(A\rightarrow B), A\vDash A$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é válido. Suponha, por absurdo, que o argumento é inválido. Assim, há uma valoração $v$, tal que:
i. $v(A\rightarrow B)=V$,
ii. $v(A)=V$ e
iii. $v(A)=F$. Logo de início, de ii. e iii., obtemos uma contradição, visto que $v$ é função. Segue-se disso que não há valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é válido.\\
\end{proof}
\bigskip
p) $(A\land B)\rightarrow C, A\land \neg C, B\vDash C\land \neg C$
\begin{proof}
Iremos demonstrar que o presente argumento é inválido. Para isso, basta perceber que sua conclusão em si mesma é uma contradição. Tomando a conclusão como verdadeira, temos uma valoração $v$, tal que: i. $v(C\land \neg C)=V$. De i., pelo significado da ($\land$), temos que ii. $v(C)=V$, $v(\neg C)=V$. De $v(\neg C)=V$, pelo significado da ($\neg$), temos que iii. $v(C)=F$. De iii. e i. obtemos uma contradição. Segue-se disso que não há valoração que torne a conclusão verdadeira, ainda que independente das premissas. Portanto, o argumento é inválido.\\
\end{proof}
\bigskip
\end{document}