Résolution numérique du problème inverse
Author
Ludovico Altana
Last Updated
8年前
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Résolution de problème inverse par point fixe
Résolution de problème inverse par point fixe
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{Résolution numérique du problème inverse}
\begin{document}
\maketitle
\section{Le problème direct}
Voici le problème direct que nous allons être amenés à résoudre à chaque itération de notre algorithme:
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{t} - Lu = \tilde{c}.\chi^{-1}.u + g &\quad (x,t)\in Q \\
u(x,0) = 0 &\quad x\in \Omega \\
Bu = b(x,t) &\quad (x,t) \in S\\
\end{cases}\\
\end{equation}\\
On utilise exactement les mêmes notations que dans Prilepko \& Kostin.
\section{Discrétisation et formulation variationnelle}
On discrétise le problème en temps selon le schéma de Crank - Nicolson :
\begin{equation}
\frac{u^{i+1}-u^{i}}{\Delta t} = \frac{1}{2}.\Bigg(Lu^{i+1} + \tilde{c}.\chi^{-1}.u^{i+1} + Lu^{i} + \tilde{c}.\chi^{-1}.u^{i} \Bigg) + g\\
\end{equation}\\
La formulation variationnelle est donc par exemple la suivante (pour L = $\Delta$, conditions de Dirichlet aux bords):\\
\begin{equation}
a(u^{i+1},v)=l(v)\\
\end{equation}
Avec:\\
\begin{equation}
a(u^{i+1},v) = \frac{1}{\Delta t} \int_{\Omega}u^{i+1}.v + \frac{1}{2} \int_{\Omega}\nabla u. \nabla v - \tilde{c}\chi^{-1}u^{i+1}.v\\
\end{equation}
\begin{equation}
l(v) = \frac{1}{\Delta t} \int_{\Omega}u^{i}.v + \frac{1}{2} \int_{\Omega}(Lu^{i} + \tilde{c}.\chi^{-1}.u^{i}).v
\end{equation}
\section{L'algorithme}
\subsection{L'opérateur A}
On rappelle la définition de l'opérateur A:
\begin{equation}
Ac = l(u_{t}(x,t,;c)) - L\chi - lg
\end{equation}
\subsection{Déroulement de l'algorithme}
\begin{itemize}
\item On initialise les constante $\Delta t$, $\delta>0$ et $T = n*\Delta t$, la variable $i=0$ et les fonctions $u^{0}=0$ , $c(x) < 0$ et $\chi(x)>0$.
\item Tant que $\parallel lu^{n}-\chi \parallel_{\infty} > \delta$ : (on ignore la condition à la première itération)
\begin{itemize}
\item Pour $i$ de $0$ à $n-1$:
\begin{itemize}
\item On calcule $u^{i+1}$ par résolution du problème direct
\end{itemize}
\item $c \gets Ac$ pour $u=u^{n} $
\end{itemize}
\item On renvoie la dernière valeur de $c$.
\end{itemize}
\end{document}